Preuve par neuf

En arithmétique, la preuve par neuf est une technique permettant de vérifier un calcul mental ou effectué « à la main ». Malgré son nom, cette technique n'est pas une preuve mathématique, car elle peut montrer qu'un résultat est erroné, mais si la technique ne trouve pas d'erreur, elle ne permet pas de conclure que le résultat est correct. Le principe général est de refaire le calcul beaucoup plus simplement, en remplaçant chaque nombre supérieur ou égal à 10 par la somme de ses chiffres, de façon répétée.

Cette technique est en fait une application des propriétés de l'arithmétique modulaire puisqu'elle revient à calculer modulo 9.

Comment l'appliquer

Pour la multiplication

Supposons qu'on ait calculé 17 × 35. On remplace 17 par la somme de ses chiffres : 1 + 7 = 8, de même pour 35, remplacé par 3 + 5 = 8. Le résultat de 17 × 35 devrait avoir pour somme de ses chiffres la même que 8 × 8 = 64, soit 6 + 4 = 10, lui-même remplacé par 1 + 0 = 1.

La preuve par neuf appliquée au produit 17 × 35 s'applique ainsi : on calcule la somme des chiffres du résultat trouvé. Dans cet exemple, si cette somme est différente de 1, le calcul est faux. Si elle est égale à 1, il peut être juste.

Effectivement 17 × 35 = 595, or 5 + 9 + 5 = 19 et 1 + 9 = 10, lui-même remplacé par 1 + 0 = 1.

Pour l'addition

La preuve par neuf fonctionne également pour vérifier le résultat d'une addition, il convient alors d'additionner les deux sommes des chiffres.

Supposons qu'on ait calculé 36994 + 99363. On remplace 36994 par la somme de ses chiffres : 3 + 6 + 9 + 9 + 4 = 31, lui-même remplacé par 3 + 1 = 4, de même pour 99363, remplacé par 9 + 9 + 3 + 6 + 3 = 30, lui-même remplacé par 3 + 0 = 3. Le résultat de 36994 + 99363 devrait avoir pour somme de ses chiffres la même que la somme 4 + 3 = 7.

La preuve par neuf appliquée à la somme 36994 + 99363 s'applique ainsi : on calcule la somme des chiffres du résultat trouvé. Dans cet exemple, si cette somme est différente de 7, le calcul est faux. Si elle est égale à 7, il peut être juste.

Effectivement 36994 + 99363 = 136357, or 1 + 3 + 6 + 3 + 5 + 7 = 25, lui-même remplacé par 2 + 5 = 7.

Astuces de calcul

Comme 9 est congru à 0 modulo 9 (c.a.d. : 9 ≡ 0[9] ), ces deux chiffres jouent le même rôle dans la preuve par neuf : on peut donc remplacer les 9 par des 0, ce qui revient à omettre les 9 dans les calculs des sommes des chiffres. Par exemple, le nombre 1999999992 sera, après plusieurs itérations, remplacé par la somme 1+2.

Lorsqu'on calcule la somme des chiffres, il est astucieux de regrouper ceux dont la somme donne 9, pour ensuite remplacer ce 9 par 0. Par exemple : 1+7+3+8+2 = (1+8)+(7+2)+3 donnera 3.

Pourquoi elle fonctionne

Le principe de la preuve par neuf repose sur la compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication ainsi que sur le fait que 10 est congru à 1 modulo 9. Ceci entraîne que tout nombre entier naturel est congru, modulo 9, à la somme de ses chiffres en écriture décimale.

Démonstration

Considérons un entier naturel a dont l'écriture décimale est $a_{n_{a}}a_{{n_{a}}-1}...a_{1}a_{0}$ . Cela signifie que $a=a_{0}+a_{1}\times 10+...+a_{n_{a}}\times 10^{n_{a}}$ , où $a_{0}$ , ..., $a_{n_{a}}$ sont des chiffres, c'est-à-dire des entiers compris entre 0 et 9.

Comme toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9 (car $10\equiv 1{\pmod {9}}$ donc pour tout entier naturel n, $10^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {9}}$ ), chaque terme de la forme $a_{i}\times 10^{i}$ est congru à $a_{i}$ modulo 9, et donc la somme de ses termes est congrue à $\sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}=a_{n_{a}}+a_{n_{a}-1}+...+a_{1}+a_{0}$ modulo 9.

Considérons alors un entier naturel b dont l'écriture décimale est $b_{n_{b}}b_{{n_{b}}-1}...b_{1}b_{0}$ . Il sera alors congru modulo 9 à $\sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}=b_{n_{b}}+b_{n_{b}-1}+...+b_{1}+b_{0}$ .

Alors,

$a\times b\equiv \sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}\times \sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}{\pmod {9}}.$

Considérons alors un entier naturel c dont l'écriture décimale est $c_{n_{c}}c_{{n_{c}}-1}...c_{1}c_{0}$ . Il sera alors congru modulo 9 à $\sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}=c_{n_{c}}+c_{n_{c}-1}+...+c_{1}+c_{0}.$

Alors,

$c\equiv \sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}{\pmod {9}}.$

Si $a\times b=c$ , alors $\sum _{k=0}^{n_{c}}c_{k}\equiv \sum _{k=0}^{n_{b}}b_{k}\times \sum _{k=0}^{n_{a}}a_{k}{\pmod {9}}.$

Ses limites

La preuve par neuf est mise en défaut :

si des chiffres sont permutés, car leur somme est inchangée ;
si l'écart entre le nombre trouvé après le calcul et le résultat est un multiple de 9. Par exemple, si le résultat est 1992 et qu'on trouve 1092, l'erreur ne sera pas détectée : pour ces deux nombres, l'algorithme sur la somme des chiffres donnera : 3.

Donc la preuve par neuf est sujette aux faux positifs.

On dira que la preuve par 9 est une condition nécessaire, mais pas suffisante.

Généralisation

La preuve par 9 fonctionne grâce à l'arithmétique modulaire et au fait que le modulo neuf est égal au reste de la somme des chiffres en base dix modulo neuf.

Mais qu'en est-il dans d'autres bases ? On comprend rapidement qu'en base N on peut utiliser la preuve par N-1.

Ainsi en base 16, on peut utiliser la preuve par quinze. Accessoirement, ceci donne un test de divisibilité rapide par 5 et par 3.

Un nombre représenté en base 10 peut facilement être analysé en base 100, en regroupant ses chiffres deux-à-deux en partant de la droite. Ainsi en base 100, on peut utiliser la preuve par quatre-vingt-dix-neuf.

Preuve par onze

Une technique similaire et moins connue est la preuve par onze, basée sur le fait que $10^{n}\equiv (-1)^{n}{\pmod {11}}$ .

On remplace ici chaque nombre par la somme alternée de ses chiffres, formée en partant de la droite : 43726 devient 6-2+7-3+4=12 qui devient 2-1=1 ; de fait, 43726 = 11*3975 + 1.

Si le résultat brut est négatif, on ajoute 11 autant de fois que nécessaire pour se ramener entre 0 et 10. Pour un nombre comme 182, on obtient d'abord 2-8+1 = -5, finalement congru à 11-5 = 6 modulo 11.

La preuve par onze appliquée au produit $17\times 35$ se déroule ainsi :

à 17 on associe 7-1 = 6;
à 35 on associe 5-3 = 2;
au produit $6\times 2=12$ est associé 2-1 = 1;
par ailleurs, à $17\times 35=595$ est associé 5-9+5 = 10-9 = 1.

Du fait de la concordance, le produit 595 est présumé juste (à un multiple de 11 près).

En cas de chiffres permutés, à la suite par exemple d'une erreur de recopie, la preuve par onze, ou preuve des comptables, ne laisse passer que les rares permutations entre chiffres ayant des rangs de même parité : 43 726 est confondu avec 43 627 mais pas avec 43 762. Elle est de ce fait considérée comme plus sûre que la preuve par neuf[1].

Preuve par dix

La preuve par dix utilise simplement un modulo 10, calculé grâce à son chiffre des unités.

La preuve par dix appliquée au produit $17\times 35$ se déroule ainsi :

à 17 on associe son chiffre des unités 7;
à 35 on associe 5;
au produit $7\times 5=35$ est associé 5;
par ailleurs, à $17\times 35=595$ est associé son chiffre des unités 5.

Du fait de la concordance, le produit 595 est présumé juste (à un multiple de 10 près).

L'inconvénient de ce test est qu'il vérifie uniquement le chiffre des unités.

Combinaison de tests

En base 10, il y a trois tests simples pour vérifier un calcul :

La preuve par neuf utilise un modulo 9 et se calcule grâce à la somme de ses chiffres.
La preuve par dix utilise un modulo 10 et se calcule grâce à son chiffre des unités.
La preuve par onze utilise un modulo 11 et se calcule grâce à la somme alternée de ses chiffres.

Note : Il y a également un test simple de parité, qui utilise un modulo 2, mais la preuve par dix l'englobe, car 10 est un multiple de 2.

La combinaison de ces preuves permet de minimiser le risque d'erreur.

Exemple avec trois tests

Par exemple, pour vérifier si $(8943\times 7826)+591-156\ {\stackrel {?}{=}}\ 69988353$ , les trois tests peuvent être utilisés.

La preuve par neuf demande de vérifier :

$([8+9+4+3]\times [7+8+2+6])+[5+9+1]-[1+5+6]\ {\stackrel {?}{=}}\ [6+9+9+8+8+3+5+3]$
$([6]\times [5])+[6]-[3]\ {\stackrel {?}{=}}\ [6]$
$30+6-3\ {\stackrel {?}{=}}\ 6$
$[3+0]+6-3\ {\stackrel {?}{=}}\ 6$
$6\ {\stackrel {?}{=}}\ 6$

La preuve par dix demande de vérifier :

$([3]\times [6])+[1]-[6]\ {\stackrel {?}{=}}\ [3]$
$18+1-6\ {\stackrel {?}{=}}\ 3$
$[8]+1-6\ {\stackrel {?}{=}}\ 3$
$3\ {\stackrel {?}{=}}\ 3$

La preuve par onze demande de vérifier :

$([-8+9-4+3]\times [-7+8-2+6])+[5-9+1]-[1-5+6]\ {\stackrel {?}{=}}\ [-6+9-9+8-8+3-5+3]$
$([0]\times [5])+[-3]-[2]\ {\stackrel {?}{=}}\ [-5]$
$0-3-2\ {\stackrel {?}{=}}\ -5$
$-5\ {\stackrel {?}{=}}\ -5$
$6\ {\stackrel {?}{=}}\ 6$ (on a ajouté 11 pour que le modulo soit positif)

Les trois tests ont réussi, donc la probabilité que le calcul soit juste est élevée.

Probabilité de détection d'erreur

Une estimation simpliste est de considérer que la preuve par neuf permet de détecter les erreurs avec une probabilité de 89 % ( $8/9$ ). Cependant, la probabilité réelle semble être inférieure, mais cela n'a pas été démontré.

En effet, certaines erreurs sont indétectables :

Deux chiffres inversés.
Une virgule mal placée.
Deux erreurs qui s'annulent.
Un zéro oublié, etc.

En résumé, il n'est pas trivial d'établir la probabilité de détecter une erreur avec une preuve par neuf.

Références

Frécon 2016.

Bibliographie

Louis Frécon, Arithmétiques, Publibook, 2016, 634 p. (ISBN 978-2-342-05636-5, lire en ligne), p. 97-98.
Alexandre Sarrazin de Montferrier, Encyclopédie mathématique ou Exposition complète de toutes les branches des mathématiques d'après les principes de la philosophie des mathématiques de Hoëné Wronski. Première partie, Mathématiques pures, t. I, Amyot, 1856, 406 p. (lire en ligne), p. 35-38.

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[Frécon2016-1] Frécon 2016.