Octaèdre régulier

L’octaèdre régulier est le solide de Platon associé à l’air dans l’Antiquité gréco‑romaine.

Vues de face, de profil, et de dessus.
Une arête projetée peut se réduire à un point, ou être cachée
par une ou deux autres arêtes. Sinon une arête cachée est en pointillé.
Tracée en bleu, la section équatoriale horizontale reproduit à l’échelle

\sqrt 3 / 2

le contour hexagonal régulier de l’octaèdre,
vu de dessus.

Le préfixe octa indique le nombre de faces d’un octaèdre : huit faces. Le suffixe èdre signifie face plane. Les faces d’un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux, huit polygones réguliers qui sont isométriques. Ses douze arêtes égales sont les côtés de trois carrés concentriques, dans trois plans deux à deux sécants à angle droit selon une diagonale, à la fois diagonale des deux carrés et diagonale du solide. Le centre commun des carrés est à la fois le centre de symétrie de l’octaèdre, son centre de gravité, et le centre de ses sphères circonscrite et inscrite.

Un octaèdre régulier est convexe. Son symbole de Schläfli est {3, 4}, car il a trois sommets par face, et quatre faces par sommet.

Grandeurs caractéristiques

Octaèdre

**Éléments**
Faces	Arêtes	Sommets
8 triangles équilatéraux	12	6 de degré 4

Données clés
Type	Polyèdre régulier
Références d'indexation	U₀₅ – C₁₇ – W₀₀₂
Symbole de Schläfli	{3,4}
Symbole de Wythoff	4\|2 3
Diagramme C-D
Caractéristique	2
Propriétés	Deltaèdre convexe
Volume (arête $a$ )	${1 \over 3}\,{\sqrt {2}}\;a^{3}$
Aire de surface	$2\;{\sqrt {3}}\;a^{2}$
Angle dièdre	$2\,\arctan {\sqrt {2}}\;\approx 109{,}47^{\,\circ }$
Groupe de symétrie	O_h
Dual	Cube

Si $a$ est la longueur d’une arête :

la distance entre 2 sommets opposés est $\quad a\,{\sqrt {2}}\;;$
le rayon de sa sphère circonscrite est $\quad R={\frac {a\,{\sqrt {2}}}{2}}\;;$
son angle dièdre est $\quad \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\,\circ }\;;$
le rayon de sa sphère inscrite est $\quad r={\frac {a\,{\sqrt {6}}}{6}}\;;$
son aire est $\quad 2\,{\sqrt {3}}\cdot a^{2}\;;$
son volume est $\quad {\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\;;$
les 6 points de coordonnées $\;(\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}},0,0)$ , $(0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}},0)\;$ et $\;(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}})\;$ sont les sommets d’un octaèdre régulier centré sur l’origine du repère cartésien.

Travail manuel

Un patron d’octaèdre régulier

À partir d’un patron, muni de pattes d’assemblage, construire un octaèdre est beaucoup plus laborieux et plus coûteux en feuille à plier, papier ou bristol, qu’à partir de trois pièces carrées à évider, découper, puis imbriquer.

Un petit théâtre de géométrie 3D serait plus ambitieux qu’un octaèdre seul. Dessinée sur scène, la position de la structure des carrés correspondrait au décor vertical : une projection en “élévation” des carrés encastrés, la “ligne de terre” étant le pli horizontal du bristol le long du mur décoré.

Un ensemble de projets pourrait se constituer au fil des ans, où s’imbriqueraient les quatre hexagones d’un cuboctaèdre, puis les six décagones d’un icosidodécaèdre. Une notice numéroterait les pièces détachées selon le même principe, par leurs nombres de paires d’encoches externes.

Chaque pièce détachée carrée possède un centre de symétrie, futur centre de la structure démontable. L’ordre croissant des numéros des pièces est leur ordre d’assemblage, la pièce n^o0 accueillant d’abord la pièce 1. Si la feuille est assez souple, ou les évidements suffisamment grands, ne pas évider la dernière pièce permet de marquer son centre d’une croix, percée éventuellement d’un petit trou pour y passer un ruban, et suspendre la structure démontable.

Plus tard nous pourrions prolonger par des triangles les pièces carrées, dont les douze bords extérieurs deviendraient alors des plis, ce qui rendrait la structure plus rigide. Les triangles seraient alors prolongés par des pattes d’assemblage, et la structure tétraèdrique laisserait voir par ses triangles évidés les trois sections carrées.

Structure démontable de trois pièces carrées.
Chaque encoche laisse passer largement l’épaisseur d’une autre pièce.

Étoilement et dualité

Cube et octaèdre régulier sont duaux
l’un de l’autre. Trois polyèdres réguliers partagent
les trois sections carrées : les deux tétraèdres,
qui ont chacun quatre sommets du cube,
et l’octaèdre leur intersection.

À partir d’un cube, on peut construire un octaèdre régulier son dual, en plaçant ses sommets aux centres des six faces du cube. Cela revient à tronquer le cube par huit plans, passant chacun par les trois sommets les plus proches du sommet éliminé. Inversement l’étoilement d’un octaèdre régulier : une paire de tétraèdres réguliers symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre, a pour enveloppe convexe un cube.

Exemples

Dans les jeux

L'octaèdre régulier est utilisé comme dé à jouer, particulièrement dans les jeux de rôle.

En cristallographie

Certains cristaux comme la fluorine forment un octaèdre régulier.

En chimie

Certaines molécules peuvent avoir une géométrie moléculaire octaédrique.

Généralisation

L'hyperoctaèdre, ou n-octaèdre, est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

L'hyperoctaèdre est, avec son dual l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une infinité en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.

Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3, 3, 3, … , 3, 4} avec n – 1 chiffres.

Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1, 0, 0, … , 0, 0).

Les premiers hyperoctaèdres
Hyperoctaèdre	Carré	Octaèdre	Hexadécachore ou 16-cellules	5-octaèdre
Dimension	2	3	4	5
Sommets	4	6	8	10
Représentation

Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier

L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.

Pour construire un (n + 1)-octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus et à un nouveau point au-dessous.

Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été placés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un octaèdre.
Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.

L'hyperoctaèdre est donc une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Étant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est également celle de ses faces hyperoctaédriques de dimensions inférieures, car tous les sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est donc le même pour toute dimension n : $R_{n}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}$ .

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur $R_{n}$ . On en déduit donc que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :

$V_{n}={\frac {V_{n-1}\times R_{n}}{n}}\times 2={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}}$ .

Exemples :

Aire du carré : $V_{2}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{2}}{1\times 2}}=a^{2}$
Volume de l'octaèdre régulier : $V_{3}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{3}}{1\times 2\times 3}}={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{3}}$ ;
Hypervolume de l'hexadécachore : $V_{4}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{4}}{1\times 2\times 3\times 4}}={\frac {a^{4}}{6}}$ ;
…

(On suppose dans cette formule que le seul n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur $a{\sqrt {2}}$ (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)

Notes et références

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