Nombre polyédrique

En arithmétique géométrique, un nombre polyédrique est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polyèdre.

Exemple de réalisation d'un nombre 3-pyramidal, ou nombre tétraédrique.

Cas des pyramides

Le n-ième nombre k-pyramidal est la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à $n$ :

P_{n}^{(k)}=\sum _{i=1}^{n}P_{k,i}={\frac {1}{6}}n(n+1)\left((k-2)n-(k-5)\right)

Cas des polyèdres réguliers

Formules

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polyèdre, on a les formules :

Nombre polyédrique	$P_{n}$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique	${\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	suite A000292 de l'OEIS
Nombre cubique	$n^{3}$	1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000	suite A000578 de l'OEIS
Nombre octaédrique	${n(2n^{2}+1) \over 3}$	1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670	suite A005900 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique	${n(3n-1)(3n-2) \over 2}$	1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060	suite A006566 de l'OEIS
Nombre icosaédrique	${n(5n^{2}-5n+2) \over 2}$	1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260	suite A006564 de l'OEIS

Principe d'obtention de ces formules

On considère un polyèdre régulier à S sommets, A arêtes, et F faces k-gonales et dont les sommets sont de degré d ({k,d} est le symbole de Schläfli) : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutant[1]^,[2]^,[3] :

$S-1$ nouveaux points situés aux $S-1$ nouveaux sommets,

$(n-2)(A-d)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A-d$ nouvelles arêtes,
$(P_{k,n}-k(n-1))(F-d)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F-d$ nouvelles faces, $P_{k,n}$ étant le nombre le nombre k-gonal d'ordre $n$ .

Si l'on note $P_{n}$ le nombre de points à l'étape $n$ , on a donc $P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$ .

Partant de $P_{0}=0$ , on obtient donc $P_{n}$ en écrivant $P_{n}=\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})$ .

Avec les formules valables pour les 5 polyèdres réguliers, $S={\frac {4k}{D}},A={\frac {2kd}{D}},F={\frac {4d}{D}}$ , où $D=2(k+d)-kd$ , on obtient $P_{n+1}-P_{n}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1$ .

Cas des polyèdres réguliers tronqués

Si à chacun des S sommets de la construction précédente à l'étape $3n-2$ on ôte une pyramide à base d'ordre d à l'étape $n-1$ , on obtient les nombres polyédriques réguliers tronqués : $PT_{n}=P_{3n-2}-S.P_{n-1}^{(d)}$ [1] où $P_{n-1}^{(d)}$ est le nombre pyramidal d-gonal d'ordre $n-1$ .

Nombre polyédrique tronqué	$PT_{n}$	Les 5 premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique tronqué	${\frac {n(23n^{2}-27n+10)}{6}}$	1, 16, 68, 180, 375	suite A005906 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué	${\frac {77n^{3}-162n^{2}+112n-24}{6}}$	1, 56, 311, 920, 2037	suite A005912 de l'OEIS
Nombre octaédrique tronqué	$16n^{3}-33n^{2}+24n-6$	1, 38, 201, 586, 1289	suite A005910 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique tronqué	${\frac {709n^{3}-1701n^{2}+1334n-336}{6}}$	1, 200, 1250, 3860, 8739
Nombre icosaédrique tronqué	${\frac {123n^{3}-291n^{2}+234n-64}{2}}$	1, 112, 670, 2044, 4603

Cas des polyèdres réguliers augmentés

Si à chacune des F faces de la construction des nombres polyédriques réguliers à l'étape $n$ on ajoute une pyramide à base d'ordre k à l'étape $n-1$ , on obtient les nombres polyédriques réguliers augmentés: $PA_{n}=P_{n}+F.P_{n-1}^{(k)}$ [1].

Par exemple, dans le cas de l'octaèdre, on obtient les nombres "stella octangula" : $SO_{n}=O_{n}+8P_{n-1}^{(3)}={\frac {n(2n^{2}+1)}{3}}+{\frac {4n(n^{2}-1)}{3}}=n(2n^{2}-1)$ , suite A007588 de l'OEIS.

Dans le cas du cube on obtient les nombres $n^{3}+6{\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}=n(3n^{2}-3n+1)$ , égaux aux nombres prismatiques hexagonaux centrés, suite A005915 de l'OEIS.

Références

(en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 111-120
John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres, Eyrolles, 1998, p. 42-54
(en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 68 (lire en ligne)

Voir aussi

Arithmétique et théorie des nombres

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[:1-1] (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 111-120

[2] John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres, Eyrolles, 1998, p. 42-54

[3] (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 68 (lire en ligne)