Intégrale elliptique

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :

f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\mathrm {d} t

Graphique des intégrales elliptiques complètes

K(m)

et

E(m)

où $R$ est une fonction rationnelle à deux variables, $P$ est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et $c$ est une constante. Autrement dit :

f(x)=\int _{c}^{x}{A(t)+B(t){\sqrt {P(t)}} \over C(t)+D(t){\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t

où $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont des polynômes généraux[1].

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques[2] appelées intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce qui s'écrivent respectivement souvent ainsi[3] :

{\begin{aligned}&F\left(\varphi ,k\right)\quad =F\left(\sin \varphi ;k\right)\quad =F\left(\varphi |k^{2}\right)\quad =F\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)\quad =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\qquad \qquad \quad \,=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\\&E(\varphi ,k)\quad =E(\sin \varphi ;k)\quad \;=E(\varphi |k^{2})\quad \,=E(\varphi \setminus \arcsin k)\quad \,=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta \qquad \qquad \;=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t\\&\Pi (n;\varphi ,k)=\Pi (n;\sin \varphi ;k)\,=\Pi (n;\varphi |k^{2})\,=\Pi (n;\varphi \setminus \arcsin k)\,=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\end{aligned}}

On prendra garde en particulier à ne pas confondre la virgule avec le point-virgule. La notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques où $\varphi \in \left[-\pi /2;\pi /2\right]$ . En utilisant $m$ au lieu de $k^{2}$ , l'ensemble de définition est étendu à $m<0$ . $n$ peut prendre n'importe quelle valeur. La forme de la première intégrale est appelée la forme trigonométrique ou la forme canonique de Legendre ; la forme de la deuxième intégrale est appelée la forme de Jacobi.

On appelle :

$k\in ]0;1[$ le module elliptique ou excentricité
$m=k^{2}$ le paramètre
$k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ le comodule
$\arcsin k$ l'angle modulaire
$\varphi$ l'amplitude
$n$ la caractéristique

L'intégrale est dite :

incomplète si $\varphi$ est quelconque
complète si $\varphi =\pi /2$

Les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espèce sont respectivement :

K\left(k\right)=F\left(\pi /2,k\right)

E\left(k\right)=E\left(\pi /2,k\right)

\Pi \left(n,k\right)=\Pi \left(n,\pi /2,k\right)

On définit aussi :

K'\left(k\right)=K\left(k'\right)

E'\left(k\right)=E\left(k'\right)

Le "nom elliptique"[traduction souhaitée 1] est :

q(k)=\exp \left[-\pi {\frac {K'(k)}{K(k)}}\right]

Historique

L'intégrale est appelée elliptique car des intégrales de cette forme apparaissent lors du calcul du périmètre des ellipses et de la surface des ellipsoïdes. Il existe également des applications de grande envergure en physique. Par exemple :

Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce[4].
Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique, comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique...)[4].

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux applications réciproques de ces intégrales ou découlant de ces applications réciproques : les fonctions elliptique de Jacobi, les fonctions elliptiqus de Weierstrass et les fonctions elliptique d'Abel.

Graphique des intégrales elliptiques de première espèce

F(\varphi |m)

pour diverses valeurs de

m

Graphique des intégrales elliptiques de deuxième espèce

E(\varphi |m)

pour diverses valeurs de

m

Nombres d'espèces

Adrien-Marie Legendre a montré que des changements de variables permettent de ramener les intégrales de la forme[5] :

f(x)=\int _{c}^{x}{A(t)+B(t){\sqrt {P(t)}} \over C(t)+D(t){\sqrt {P(t)}}}\,dt

aux trois formes canoniques sus-mentionnées. En effet, on peut décomposer l'intégrande ainsi :

{\begin{aligned}f(x)&=\int _{c}^{x}{\frac {A(t)C(t)-B(t)D(t)P(t)}{C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{x}{\frac {\left[B(t)C(t)-A(t)D(t)\right]P(t)}{\left[C^{2}(t)-D^{2}(t)P(t)\right]{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{c}^{x}E(t)\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{x}{\frac {F(t)}{I(t)}}\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{x}{\frac {G(t)}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\int _{c}^{x}{\frac {H(t)}{I(t){\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\rho _{i}\int _{c}^{x}t^{i}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\kappa _{i}\int _{c}^{x}{\frac {1}{\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{c}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{c}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=0}^{\deg(E)}\left[\rho _{i}{\frac {t^{i+1}}{i+1}}\right]_{c}^{x}+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\left[{\begin{matrix}\left(p_{i}=1\right)\kappa _{i}\ln \left(t-t_{i}\right)\\+\left(p_{i}\neq 1\right){\frac {-\kappa _{i}}{\left(p_{i}-1\right)\left(t-t_{i}\right)^{p_{i}-1}}}\end{matrix}}\right]_{c}^{x}+\sum _{i=0}^{\deg(G)}\lambda _{i}\int _{c}^{x}{\frac {t^{i}}{\sqrt {P(t)}}}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{\deg(I)}\mu _{i}\int _{c}^{x}{\frac {1}{(t-t_{i})^{p_{i}}{\sqrt {P(t)}}}}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}

où $E$ , $F$ , $G$ , $H$ et $I$ sont des polynômes tels que $\deg(F)\leqslant \deg(I)-1$ et $\deg(H)\leqslant \deg(I)-1$ et $P(t)=\alpha +\beta \,t+\gamma \,t^{2}+\delta \,t^{3}+\epsilon \,t^{4}$ . Il reste deux intégrales à calculer.

Pour calculer la première intégrale, on pose :

\Gamma ^{k}(x)=\int _{c}^{x}{\frac {t^{k}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t

Legendre fait remarquer que, puisque :

{\begin{aligned}t^{k-3}{\sqrt {P(t)}}&=\int _{c}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[t^{k-3}{\sqrt {P(t)}}\right]\mathrm {d} t=\int _{c}^{x}{\frac {\left[(k-3)P(t)+{\tfrac {1}{2}}tP'(t)\right]t^{k-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{c}^{x}{\frac {\left[{\begin{aligned}(k-3)\left(\alpha +\beta \,t+\;\,\gamma \,t^{2}+\;\;\delta \,t^{3}+\;\;\epsilon \,t^{4}\right)\\+{\tfrac {1}{2}}\;\left(\qquad \beta t+2\gamma \,t^{2}+3\delta \,t^{3}+4\epsilon \,t^{4}\right)\end{aligned}}\right]t^{k-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\int _{c}^{x}{\frac {\left[\left(k-3\right)\alpha +\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,t+\left(k-2\right)\gamma \,t^{2}+\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,t^{3}+\left(k-1\right)\epsilon \,t^{4}\right]t^{k-4}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t\\&=\left(k-3\right)\alpha \,\Gamma ^{k-4}(x)+\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{k-3}(x)+\left(k-2\right)\gamma \,\Gamma ^{k-2}(x)+\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{k-1}(x)+\left(k-1\right)\epsilon \,\Gamma ^{k}(x)\end{aligned}}

\Rightarrow \Gamma ^{k}(x)={\frac {t^{k-3}{\sqrt {P(t)}}-\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\delta \,\Gamma ^{k-1}(x)-\left(k-2\right)\gamma \,\Gamma ^{k-2}(x)-\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\beta \,\Gamma ^{k-3}(x)-\left(k-3\right)\alpha \,\Gamma ^{k-4}(x)}{(k-1)\epsilon }}

$\Gamma ^{k}$ peut s'exprimer en fonction de $\Gamma ^{k-1}$ , et à son tour, $\Gamma ^{k-1}$ en fonction de $\Gamma ^{k-2}$ , etc. jusqu'à $\Gamma ^{3}$ qu'on peut encore exprimer en fonction de $\Gamma ^{2}$ , $\Gamma ^{1}$ et $\Gamma ^{0}$ puisque le dernier terme est nul. Du coup, pour calculer la première intégrale, il reste à calculer :

\int {\frac {at^{2}+bt+c}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t

Pour calculer la deuxième intégrale, si on pose $\omega =t-n$ , on a :

P(t)=\alpha +\beta \left(\omega +n\right)+\gamma \left(\omega +n\right)^{2}+\delta \left(\omega +n\right)^{3}+\epsilon \left(\omega +n\right)^{4}=\alpha '+\beta '\omega +\gamma '\omega ^{2}+\delta '\omega ^{3}+\epsilon '\omega ^{4}=P_{\omega }\left(\omega \right)

On pose :

\Upsilon _{n}^{k}(x)=\int _{c-n}^{x-n}{\frac {1}{\omega ^{k}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\,\mathrm {d} \omega

et on a :

{\begin{aligned}-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}{\omega ^{k-1}}}&=\int _{c-n}^{x-n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\left[-\omega ^{1-k}{\sqrt {P_{\omega }\left(\omega \right)}}\right]\mathrm {d} \omega =\int _{c-n}^{x-n}{\frac {(k-1)P_{\omega }(\omega )-{\tfrac {1}{2}}\omega P_{\omega }'(\omega )}{\omega ^{k}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{c-n}^{x-n}{\frac {\left[{\begin{aligned}(k-1)\left(\alpha '+\beta '\omega +\;\;\,\gamma '\omega ^{2}+\;\;\delta '\omega ^{3}+\;\;\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\-{\tfrac {1}{2}}\left(\qquad \;\beta '\omega +2\,\gamma '\omega ^{2}+3\,\delta '\omega ^{3}+4\,\epsilon '\omega ^{4}\right)\\\end{aligned}}\right]}{\omega ^{k}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\int _{c-n}^{x-n}{\frac {\left[\left(k-1\right)\alpha '+\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\omega +\left(k-2\right)\gamma '\omega ^{2}+\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\omega ^{3}+\left(q_{i}-3\right)\epsilon '\omega ^{4}\right]}{\omega ^{k}{\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}}}\mathrm {d} \omega \\&=\left(k-1\right)\alpha '\,\Upsilon _{n}^{k}(x)+\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{n}^{k-1}(x)+\left(k-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{n}^{k-2}(x)+\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{n}^{k-3}(x)+\left(k-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{n}^{k-4}(x)\end{aligned}}

\Rightarrow \Upsilon _{n}^{k}(x)={\frac {-{\frac {\sqrt {P_{\omega }(\omega )}}{\omega ^{k-1}}}-\left(k-{\tfrac {3}{2}}\right)\beta '\,\Upsilon _{n}^{k-1}(x)+\left(k-2\right)\gamma '\,\Upsilon _{n}^{k-2}(x)+\left(k-{\tfrac {5}{2}}\right)\delta '\,\Upsilon _{n}^{k-3}(x)+\left(k-3\right)\epsilon '\,\Upsilon _{n}^{k-4}(x)}{(k-1)\alpha '}}

Ici encore, les $\Upsilon _{n}^{k}$ peuvent s'exprimer en fonction de $\Upsilon _{n}^{1}$ , $\Upsilon _{n}^{0}$ , $\Upsilon _{n}^{-1}$ et $\Upsilon _{n}^{-2}$ . Au total, la seule difficulté reste :

\int {\frac {at^{2}+bt+c+{\frac {d}{t-n}}}{\sqrt {P(t)}}}\mathrm {d} t

Legendre fait remarquer que si $n$ est réel, on peut faire disparaître le quatrième terme du numérateur en posant :

z={\frac {1}{t-n}}\Leftrightarrow t={\frac {1}{z}}+n

Autres écritures

Des changements de variable donnent d'autres expressions :

{\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1-u^{2})(1-k^{2}u^{2})}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi }{\sqrt {(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2})(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2})}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})[1+(1-k^{2})u^{2}]}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi }{\sqrt {(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})[1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}]}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\E(\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \,=\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {\sin \varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}{(1+u^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2})^{3/2}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}{(1+u^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad \qquad \quad \,=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} v\\\Pi (n;\varphi ,k)&=\int _{u=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-u^{2}\right)\left(1-k^{2}u^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} u\qquad \qquad =\int _{v={\frac {u}{\sin \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {\left(1-\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi \;v^{2}\right)}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan \theta =0}^{\tan \varphi }{\frac {1}{1+(1-n)u^{2}}}{\frac {\sqrt {1+u^{2}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})u^{2}}}}\,\mathrm {d} u\qquad \quad \;=\int _{v={\frac {u}{\tan \varphi }}=0}^{1}{\frac {1}{1+(1-n)\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}{\frac {\tan \varphi {\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}{\sqrt {1+(1-k^{2})\tan ^{2}\varphi \;v^{2}}}}\,\mathrm {d} v\\&=\int _{u=\tan {\frac {\theta }{2}}=0}^{\tan {\frac {\varphi }{2}}}{\frac {2(1+u^{2})^{2}}{(1+u^{2})^{2}-4nu^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+u^{2})^{2}-4k^{2}u^{2}}}}\,\mathrm {d} u=\int _{v={\frac {u}{\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=0}^{1}{\frac {2\tan {\frac {\varphi }{2}}(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}}{(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4n\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}{\frac {1}{\sqrt {(1+\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2})^{2}-4k^{2}\tan ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\;v^{2}}}}\mathrm {d} v\end{aligned}}

Liens avec les fonctions elliptiques de Jacobi

Cette intégrale permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi :

la fonction $am$ est définie comme réciproque de $F(\varphi ,k)$ :

F(\varphi ,k)=u\Leftrightarrow \varphi =\mathrm {am} (u,k)

la fonction $sn$ est définie comme réciproque de $F(x;k)$ :

F(x;k)=u\Leftrightarrow x=\mathrm {sn} (u,k)=\sin \mathrm {am} (u,k)

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans le cas des intégrales elliptiques de deuxième et troisième espèce :

E(\mathrm {am} (u,k),k)=\int _{0}^{u}\mathrm {dn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {sn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {cn} ^{2}(w,k)\,\mathrm {d} w

\Pi (n;\mathrm {am} (u,k),k)=\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} w}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w,k)}}

Théorèmes d'addition

Première espèce

L'intégrale elliptique incomplète de première espèce a le théorème d'addition suivant :

\forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,

F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)

Démonstration

Une démonstration s'appuie sur le théorème suivant :

f(\varphi _{2})=g(\varphi _{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}f(0)=g(0)\\{\text{et }}\partial _{\varphi _{2}}f(\varphi _{2})=\partial _{\varphi _{2}}g(\varphi _{2})\end{cases}}

L'équation est vraie pour $\varphi _{2}=0$ . Il reste alors à démontrer que :

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}&={\frac {\partial _{\varphi _{2}}\left[\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\right]}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\left[\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right]\right)}}}\\&={\frac {{\frac {-k^{2}\tan \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\right]\cos ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left[{\frac {\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}+\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)}}}}\right]^{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left[{\frac {\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]^{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\end{aligned}}

On a ensuite :

{\begin{aligned}\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\\=\arcsin {\frac {\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}+\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)}}}}\\=\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\=\arccos {\frac {1-\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}

On a ensuite, selon les circonstances (c.-à-d. en tenant compte du fait que $\arcsin x\in [-\pi /2;\pi /2]$ et $\arccos x\in [0;\pi ]$ ) :

{\begin{aligned}F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)&=F\left(\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\\&=F\left(\arccos {\frac {1-\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\end{aligned}}

Deuxième espèce

L'intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce a le théorème d'addition suivant :

\forall \varphi _{1},\varphi _{2}\in \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right[,

E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)=\left[{\begin{aligned}E\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]

Démonstration

On procède de la même façon : L'équation est vraie pour $\varphi _{2}=0$ . Il reste alors à démontrer que :

\textstyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\\times \left[{\begin{matrix}\cos \varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\\+\sin \varphi _{2}\left[{\begin{matrix}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\sin \varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin \varphi _{2}\\+\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]\\+2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\\times \left[{\begin{matrix}\sin \varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(2\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\\+2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\sin \varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{2}\left[\sin \varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-2\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]\\-k^{4}\sin ^{3}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\\+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}k^{4}\cos ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}+\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-2\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}1+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(-2\sin ^{2}\varphi _{1}-1\right)\\+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-\cos ^{2}\varphi _{2}+2\sin ^{2}\varphi _{2}+1-\sin ^{2}\varphi _{1}-\sin ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\end{matrix}}\right]}{\left(1-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {1+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(-2\sin ^{2}\varphi _{1}-1\right)+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\left(2+\sin ^{2}\varphi _{1}\right)-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}}{\left(1-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}

On peut aussi, comme ci-dessus, exprimer l'angle modulaire avec arc sinus ou arc cosinus.

Intégrales elliptiques complètes

Première espèce

On peut utiliser son développement en série entière, $\forall k^{2}\in ]-\infty ;1[$ :

{\begin{aligned}K(k)&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\}\end{aligned}}

où :

$P_{n}(x)$ sont les polynômes de Legendre ;
$\operatorname {CBC} (n)$ sont les coefficients binomiaux centraux ;
$C_{n}^{p}$ sont les coefficients binomiaux ;
$n!!$ est la double factorielle (en considérant ici que $(-1)!!=1$ ) ;
$n!$ est la factorielle.

Démonstration

\left(1+x\right)^{a}=1+ax+{\frac {a(a-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}}x^{n}+o(x^{n})

\Rightarrow {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)\right]x^{n}}{2^{n}n!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)^{2}\right]x^{n}}{\left(2n\right)!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}x^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}x^{n}

\Rightarrow {\sqrt {1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)\right]x^{n}}{\left(1-2n\right)2^{n}n!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{n}\left(2m-1\right)^{2}\right]x^{n}}{\left(1-2n\right)\left(2n\right)!}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(2n\right)!}{\left(1-2n\right)2^{2n}n!^{2}}}x^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{2n}^{n}}{\left(1-2n\right)2^{2n}}}x^{n}

car :

\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)=\mathrm {e} ^{\sum \limits _{n=0}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2n}}\right)}=\mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}+\sum \limits _{n=n_{0}}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2n}}\right)}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}-\sum \limits _{n=n_{0}}^{\infty }{\frac {1}{2n}}}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{n_{0}}-\left[{\frac {\ln {n}}{2}}\right]_{n_{0}}^{\infty }}\sim 0\ \Longrightarrow \ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}=0

On a :

{\begin{aligned}~\int _{\theta =0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\,\mathrm {d} \theta &=\int _{\theta =0}^{\pi /2}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2i}}\right)^{2n}\,\mathrm {d} \theta =\int _{\theta =0}^{\pi /2}\sum \limits _{j=0}^{2n}C_{2n}^{j}{\frac {\left(-1\right)^{j}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}}{2^{2n}\left(-1\right)^{n}}}\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{2^{2n}}}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}\left(-1\right)^{j}C_{2n}^{j}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}}{\left(-1\right)^{n}}}+C_{2n}^{n}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\int _{\theta =0}^{\pi /2}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j}C_{2n}^{j}\cos \left[\left(2n-2j\right)x\right]}{2^{2n-1}}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j+1}C_{2n}^{j}\sin \left[\left(2n-2j\right)x\right]}{2^{2n-1}\left(2n-2j\right)}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\theta \right]_{\theta =0}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\end{aligned}}

Donc :

{\begin{aligned}\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\pi }{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}\\\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta &={\frac {\pi }{2}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}\end{aligned}}

Si $k^{2}<0$ , en utilisant la transformation gaussienne décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où $k\in ]0;1[$ :

K\left(\mathrm {i} k\right)=\int _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{1+{\sqrt {1+k^{2}}}}}K\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique[6] :

{\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\Rightarrow K(k)={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1-k,1+k)}}={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}

Démonstration

Soit :

K(a,b)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta

D'après Gauss, on a :

K(a,b)=K\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)

La transformation peut s'effectuer par changement de variable. Il est plus commode de convertir d’abord l’intégrale sous une forme algébrique en effectuant la changement de variable $\theta =\arctan {\frac {x}{b}}$ , ce qui donne :

K\left(a,b\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {{\frac {b}{x^{2}+b^{2}}}dx}{\sqrt {a^{2}{\frac {b^{2}}{x^{2}+b^{2}}}+b^{2}{\frac {x^{2}}{x^{2}+b^{2}}}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,\mathrm {d} x

Le changement de variable supplémentaire $x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}$ donne le résultat désiré :

{\begin{aligned}K(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\frac {x\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{2}+ab}}}{x{\sqrt {x^{2}+a^{2}+b^{2}+{\frac {a^{2}b^{2}}{x^{2}}}{\frac {2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}{2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}}}}}}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\frac {x\mathrm {d} t}{\sqrt {t^{2}+ab}}}{x{\sqrt {2t^{2}+ab+2t{\sqrt {t^{2}+ab}}+a^{2}+b^{2}+2t^{2}+ab-2t{\sqrt {t^{2}+ab}}}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left[t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right]\left[t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right]}}}\,\mathrm {d} t\\&=K\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}

Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres $a$ et $b$ convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et notée $\operatorname {AGM} (a,b)$ ou $M(a,b)$ . À la limite, l'intégrande devient une constante, donc l'intégration est triviale :

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}={\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)

\Leftrightarrow \operatorname {AGM} (a,b)={\frac {\pi a}{2K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)}}={\frac {\pi \left(a+b\right)}{4K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}

En opérant $a\rightarrow 1$ et $b\rightarrow k$ , on a :

K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}

Deuxième espèce

On a également un développement en série entière, $\forall k^{2}\in ]-\infty ;1]$ :

{\begin{aligned}E(k)&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}\end{aligned}}

Si $k^{2}<0$ , en utilisant la transformation de Landen décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où $k\in ]0;1[$ :

E\left(\mathrm {i} k\right)=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\left(1+{\sqrt {1+k^{2}}}\right)E\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)-{\sqrt {1+k^{2}}}K\left(k\right)

Dérivées des intégrales complètes

Dérivée de E et K par rapport à $k$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}$	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {k^{2}K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{k(1-k^{2})}}$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {E(k)-K(k)}{k}}$	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {k\left[K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]}{1-k^{2}}}$

Démonstration

Démonstration de la dérivation de l'intégrale elliptique complète de première espèce :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {k^{2}(1-k^{2})x^{2}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\right)^{2}-\left(1-k^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)-k^{2}\left(1-2x^{2}+k^{2}x^{4}\right)}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\left[{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right]_{x=0}^{x=1}={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}\end{aligned}}

Démonstration de la dérivation de l'intégrale elliptique complète de seconde espèce :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\end{aligned}}

Primitives des intégrales complètes

$\int _{0}^{x}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin z}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z={\biggl [}2\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G$ $\int _{0}^{x}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z$ $\int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin z}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z={\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}_{z=0}^{z=1}=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}$

où :

$G$ est la constante de Catalan : $G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots$
$\operatorname {Ti} _{2}(x)$ est l'intégrale arc tangente (de), (en) : $\operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,\mathrm {d} t$

Démonstration

On a :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {1}{z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}=K(x)

et :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}={\frac {1}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}+{\frac {1-2x^{2}z^{2}}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}=E(x)

De plus :

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr )}&={\frac {\arctan {\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{\frac {\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right){\sqrt {1-z^{2}}}+z^{2}}{\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{2}{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arctan {\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\\&={\frac {\arcsin \left(2{\frac {\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\sqrt {1+\left({\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)^{2}}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)^{2}}}}\right)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arcsin {\frac {2z\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}{\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{2}+z^{2}}}}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}={\frac {\arcsin z}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\end{aligned}}

Transformations

Les transformations de Landen et de Gauss facilitent les calculs numériques.

On a aussi les transformations réflexives :

{\begin{aligned}K(m)&={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&={\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}

Démonstration

{\begin{aligned}K(m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}=\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}{\frac {-\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{\sqrt {1-m}}}K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}-{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '={\sqrt {1-m}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}\mathrm {d} \theta '={\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}=\int _{\theta '=\pi /2-\theta =\pi /2}^{0}{\frac {1}{1-n\cos ^{2}\theta '}}{\frac {-\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n\cos ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m\cos ^{2}\theta '}}}\\&=\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-n+n\sin ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-m+m\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\int _{\theta '=0}^{\pi /2}{\frac {1}{1-{\frac {n}{n-1}}\sin ^{2}\theta '}}{\frac {\mathrm {d} \theta '}{\sqrt {1-{\frac {m}{m-1}}\sin ^{2}\theta '}}}\\&={\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}

Cette transformation change le signe du paramètre, c.-à-d. change un module réel en un module imaginaire et vice-versa. Si cette transformation est appliquée deux fois de suite, le module d'origine est à nouveau créé. Cette transformation a donc un caractère réflexif.

Identité de Legendre

On a l'identité de Legendre : $KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}$ , c.-à-d. :

pour deux modules qui sont des homologues pythagoriciens :

K\left(k\right)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left(k\right)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}

pour deux modules qui sont des homologues tangentiels :

\left(1+k\right)K\left(k\right)E\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)+{\frac {2}{1+k}}E\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)-2K\left(k\right)K\left({\frac {1-k}{1+k}}\right)={\frac {\pi }{2}}

Ces modules sont homologues car[7] :

{\begin{cases}k'={\sqrt {1-k^{2}}}\Leftrightarrow k={\sqrt {1-k'^{2}}}\\k''={\frac {1-k}{1+k}}\quad \;\;\;\Leftrightarrow k={\frac {1-k''}{1+k''}}\end{cases}}

Exemples d'application

Périmètre d'une ellipse

Illustration géométrique d'une intégrale elliptique de deuxième espèce (

E(x;k)

est en fait

E(x,k)

)

Pour une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ , donc d'excentricité $e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$ et décrite par ${\vec {r}}(\theta )=\left|{\begin{matrix}a\cos \theta \\b\sin \theta \end{matrix}}\right.$ , la longueur d'un arc de l'ellipse de l'équateur à une latitude $\varphi$ est :

{\begin{aligned}L(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }\left\|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\vec {r}}(\theta )\right\|\,{\text{d}}\theta =\int _{0}^{\varphi }\left\|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left|{\begin{matrix}a\cos \theta \\b\sin \theta \end{matrix}}\right.\,\right\|\,{\text{d}}\theta =\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta \\&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta =a\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta }}\;{\text{d}}\theta =aE(\varphi ,e)\\L(2\pi )&=4a\,E\left(e\right)=4(a+b)E\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)-{\frac {8ab}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\end{aligned}}

où la transformation de Landen a été utilisée pour produire la dernière égalité.

Série Gauss-Kummer

En combinant linéairement ces trois formules :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)}}\,k^{2n}\right]

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}\right]

k^{2}K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {4\,n^{2}\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}

on obtient la formule suivante :

2E(k)-(1-k^{2})K(k)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}\right]

Soit $k={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}=e_{-1}$ où $e_{-1}$ est le module enfant obtenu par la transformation de Landen, on a :

{\begin{aligned}L(2\pi )&=4(a+b)E\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)-{\frac {8ab}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)=2(a+b)\left[2E(k)-(1-k^{2})K(k)\right]\\&=2(a+b)\,{\frac {\pi }{2}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\,k^{2n}\right]=\pi \,(a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2n}\right]\end{aligned}}

On obtient la série de Gauss-Kummer[8]^,[9] :

$L(2\pi )=\pi \,(a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}(2n-1)^{2}}}\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2n}\right]$

Pendule oscillant

Une application classique des intégrales elliptiques est le mouvement exact d’un pendule dans le cas où les frottements sont ignorés. Soit $l$ la longueur du pendule, $\theta$ l'angle orienté par rapport à la verticale et $g\simeq 9{,}81$ m/s² l'accélération de la pesanteur. On a :

l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta

En intégrant en fonction du temps à partir de la dernière formule mentionnée, on obtient l'expression suivante :

{\dot {\theta }}^{2}=\int _{t_{\text{max}}}^{t}2{\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{\text{max}}}^{t}-2{\dot {\theta }}{\frac {g}{l}}\sin \theta \,\mathrm {d} t=2{\frac {g}{l}}\left(\cos \theta -\cos \theta _{\text{max}}\right)=4{\frac {g}{l}}\left(\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\text{max}}}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {\theta }{2}}\right)

La période d'oscillation pour un angle initial maximal et une longueur de tige donnés peut être calculée ainsi :

{\begin{aligned}T(\theta _{\text{max}})&=4\int _{0}^{\theta _{\text{max}}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\dot {\theta }}}=\int _{0}^{\theta _{\text{max}}}2{\sqrt {\frac {l}{g\left(\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\text{max}}}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {\theta }{2}}\right)}}}\,\mathrm {d} \theta =2{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{\theta '=\arcsin {\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{\text{max}}}{2}}}}=0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \left[2\arcsin \left(\sin {\frac {\theta _{\text{max}}}{2}}\sin \theta '\right)\right]}{\sin {\tfrac {\theta _{\text{max}}}{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta '}}}}=2{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{\theta '=0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {{\frac {2\sin {\frac {\theta _{\text{max}}}{2}}\cos \theta '}{\sqrt {1-\sin ^{2}{\tfrac {\theta _{\text{max}}}{2}}\sin ^{2}\theta '}}}\mathrm {d} \theta '}{\sin {\tfrac {\theta _{\text{max}}}{2}}\cos \theta '}}\\&=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\tfrac {\theta _{\max }}{2}}\right)\end{aligned}}

Notes

Les intégrales elliptiques complètes de troisième espèce peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique $n$ : $\Pi '(n,k)=\Pi (-n,k)$ .

On remarquera que $\forall \,m,\,\Pi (1\,|\,m)=\infty$ .

Il est aussi défini[10] :

D\left(\varphi ,k\right)\quad =D\left(\sin \varphi ;k\right)\quad =D\left(\varphi |k^{2}\right)\quad =D\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)\quad =\int _{0}^{\varphi }{\frac {\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\qquad \qquad \quad \,=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {t^{2}\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliptic integral » (voir la liste des auteurs).

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Elliptische Integrale » (voir la liste des auteurs).

Traduction souhaitée.

no:Elliptisk integral
E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.
Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)
(en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)
Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, par A.-M. Legendre
(en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.
$k''$ a été définit pour l'occasion ; ce n'est pas une définition officielle.
Une autre formule avec une fonction hypergéométrique pour la série de Gauss-Kummer (qui produit bien sûr les mêmes valeurs) est répertoriée sur math.wolfram.com angeführt.
Gérard P. Michon : Périmètre d'une ellipse Section Calculs rapides très précis. Sur : numericana.com Récupéré le 26 juillet 2015.
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Voir aussi

Bibliographie

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier-Villars, Paris, 1897, chap. VII
Daniel Duverney, Introduction aux fonctions hypergéométriques, Ellipses, 2020
Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre $π$ , Hermann,‎ 1999
Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications, chap. II (G. Carré, Paris, 1895)
(en) Louis V. King, On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals, Cambridge University Press, 1924 (lire en ligne)
Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, Huzard-Courcier, Paris, 1828
(en) Benjamin Osgood Pierce (en), A Short Table of Integrals, Ginn & co., Boston, MA, 1899, p. 66
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Articles connexes

Liens externes

(en) « DLMF: Chapter 19 Elliptic Integrals », sur dlmf.nist.gov
(en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integrals », sur MathWorld, dont :
- (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the First Kind », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Complete Elliptic Integral of the First Kind », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the Second Kind », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Complete Elliptic Integral of the Second Kind », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Elliptic Integral of the Third Kind », sur MathWorld

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[4] Traduction souhaitée.

[1] :Elliptisk integral

[2] E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.

[3] Elliptic Integrals - Harris Hancock, John Wiley & Sons, New York (1917)

[:0-5] (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven, Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 978-0-486-65258-0)

[6] Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, par A.-M. Legendre

[7] (en) « Evaluation of the complete elliptic integrals by the agm method », sur University of Florida, Department of Mechanical and Aerospace Engineering.

[8] $k''$ a été définit pour l'occasion ; ce n'est pas une définition officielle.

[9] Une autre formule avec une fonction hypergéométrique pour la série de Gauss-Kummer (qui produit bien sûr les mêmes valeurs) est répertoriée sur math.wolfram.com angeführt.

[10] Gérard P. Michon : Périmètre d'une ellipse Section Calculs rapides très précis. Sur : numericana.com Récupéré le 26 juillet 2015.

[11] Digital library of mathematical functions