Fonction trigamma

En mathématiques, la fonction trigamma, notée $ψ 1 (z)$ ou $ψ (1) (z)$ , est la deuxième des fonctions polygamma ; elle est définie par

\psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z)

.

Représentation en couleur de la fonction trigamma,

ψ 1 (z)

, dans une région carrée du plan complexe. Il est généré à l’aide de la méthode de coloration de domaine .

Il résulte de cette définition que

\psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)

où $ψ (z)$ est la fonction digamma. Elle peut également être définie comme somme de série :

\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

ce qui en fait un cas particulier de fonction zêta de Hurwitz

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).

Il faut noter que les deux dernières formules sont valides lorsque $1 - z$ n'est pas un entier naturel.

Calcul

Une représentation en intégrale double, comme alternative à celles données ci-dessus, peut être obtenue à partir de la représentation en série :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x

en utilisant la formule de la somme d'une série géométrique. L'intégration en $y$ donne :

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,\mathrm {d} x

Un développement asymptotique comme série de Laurent est :

\psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}

si on a choisi $B 1 = 1 / 2$ , soit les nombres de Bernoulli de deuxième espèce.

Formules de récurrence et de réflexion

La fonction trigamma vérifie la relation de récurrence

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}

et la formule de réflexion

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,

ce qui donne immédiatement la valeur en z = $1 / 2$ : $\psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$ .

Valeurs particulières

On a l'expression pour des arguments demi-entiers positifs :

\psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.

De plus, la fonction trigamma prend les valeurs particulières suivantes :

{\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8K\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\quad \end{aligned}}

où $K$ est la constante de Catalan.

la fonction $ψ 1$ n'a pas de zéro sur l'axe réel , mais il existe une infinité de paires de zéros $z n, z n$ de partie réelle strictement négative . Les parties réelles $\Re z_{n}=\Re ({\overline {z_{n}}})$ s'approchent rapidement de $- n + 1 / 2$ et les parties imaginaires augmentent lentement en O(ln(n)). Par exemple, $z 1 = -0,4121345... + 0,5978119... i$ et $z 2 = -1,4455692... + 0,6992608... i$ sont les deux premiers zéros avec $Im(z) > 0$ .

Relation avec la fonction de Clausen

La valeur de la fonction digamma pour des arguments rationnels peut être exprimée en termes de fonctions trigonométriques et logarithmiques par le théorème digamma. Un résultat similaire est obtenu pour la fonction trigamma mais les fonctions circulaires sont remplacées par la fonction de Clausen. À savoir, [1]

\psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).

Calcul et approximation

Une méthode simple pour approximer la fonction trigamma consiste à prendre la dérivée du développement asymptotique de la fonction digamma.

\psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}

Formule

La fonction trigamma apparaît dans cette somme :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left[\psi _{1}\left(n-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)+\psi _{1}\left(n+{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}\right)\right]=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).

Voir également

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trigamma function » (voir la liste des auteurs).

Structural properties of polylogarithms, American Mathematical Society, 1991 (ISBN 978-0821816349)

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)
(en) Eric W. Weisstein, « Trigamma Function », sur MathWorld

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[1] Structural properties of polylogarithms, American Mathematical Society, 1991 (ISBN 978-0821816349)