Fonction gamma multidimensionnelle

La définition formelle de la fonction gamma multivariée est, pour tout complexe a tel que ${\displaystyle \Re e(a)>{\frac {p+1}{2}}}$:

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\left|S\right|^{a-(p+1)/2}\ \mathrm {e} ^{-{\rm {trace(S)}}}\mathrm {d} S,}$

où S > 0 signifie que S est une matrice définie positive.

En pratique, on utilise

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}$

Le calcul est facilité par les relations de récurrence :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{p}(a)&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})\\&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma \left(a+{\tfrac {1-p}{2}}\right).\end{aligned}}}$

Ainsi,

• ${\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})\Gamma (a-1)}$

etc.

On définit la fonction digamma multivariée  :

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right),}$

et la fonction polygamma généralisée :

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}\left(a+{\frac {1-i}{2}}\right).}$

• (en) Alan T. James, « Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples », Annals of Mathematical Statistics, vol. 35, n^o 2,‎ juin 1964, p. 475-501
• (en) « Multivariate Gamma and Beta Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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