Espace métrique faible

Une distance faible sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une fonction

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,x)=0}$ ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (x,z)\leq \mathrm {d} (x,y)+\mathrm {d} (y,z)}$ (inégalité triangulaire).

Un espace métrique faible est alors un couple ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$ formé d'un ensemble ${\displaystyle E}$ et d'une distance faible ${\displaystyle \mathrm {d} }$ sur ${\displaystyle E}$.

• Une distance faible symétrique est un écart.
• Une distance faible qui vérifie la propriété de séparation est une quasi-distance.
• Une distance faible qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une distance.

Une distance faible induit une topologie sur ${\displaystyle E}$. Une base d'ouverts de cette topologie est donnée par l'ensemble :

${\displaystyle \{B_{r}\left(x\right):x\in E,r>0\},}$

où ${\displaystyle B_{r}\left(x\right)=\{y\in E:\mathrm {d} (x,y)<r\}}$ est la boule ouverte de rayon ${\displaystyle r}$ centrée en ${\displaystyle x}$. En particulier, tout point de ${\displaystyle E}$ admet une base dénombrable de voisinages.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hemimetric space » (voir la liste des auteurs).

• Portail des mathématiques