Autocovariance

La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique ${\displaystyle X=\{X_{t},t\in \mathbb {N} \}}$ permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus[1].

Si ${\displaystyle X}$ est un processus stationnaire au sens faible alors ${\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}}$ et ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{t+k},X_{s+k})}$ pour n'importe quels entiers naturels ${\displaystyle t,s,k}$. Dans ce cas ${\displaystyle R(t,s)=R(|t-s|,0)}$ et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ associe ${\displaystyle \gamma (k)\equiv R(k,0)=\operatorname {Cov} (X_{k},X_{0})}$. La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle ${\displaystyle \gamma (k)}$ l'autocovariance d'ordre ${\displaystyle k}$[2].

Cette propriété résulte directement du fait que ${\displaystyle \gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)}$. Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).